+0  
 
+1
1525
2
avatar

x^5+3x^4+8:3x^3-x-1:3 Funktion fünften Grades Nullstellen errechnen

 07.12.2017
 #1
avatar+14865 
0

f(x)=x^5+3x^4+(8:3)x^3-x-1:3   Nullstellen errechnen

 

Hallo Gast!

 

\(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3=0\)

 

Erste vermutete Nullstelle:   x1= - 1

 

 \((x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3): (x+1)\)

                                                   \(=x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3\)   

  \(\underline{x^5\ +\ x^4}\)                         

             \(2x^4+(8/3)x^3\) 

             \(\underline{2x^4+\ 2\ x^3}\)

                         \((2/3)x^3-x\)

                         \(\underline{(2/3)x^3+(2/3)x^2}\)

                                          \(-(2/3)x^2-x \)

                                          \(\underline{-(2/3)x^2-(2/3)x}\)

                                                                 \(-(1/3)x-1/3\)

                                                                 \(\underline{-(1/3)x-1/3}\)

                                                                                           \(0\)

\(x_1=-1\)

 

Die weiteren Nullstellen errechnen sich aus der Gleichung                                                                          

\(x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3=0\)

 

2. vermutete Nullstelle:   x2 = - 1

 

\((x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3) : (x+1)\)

                                             \(=x^3+x^2-(1/3)x-1/3\)

 \(\underline{x^4+x^3}\)

          \(x^3\ +\ (2/3)x^2\)

          \(\underline{x^3\ +\ x^2}\)

                 \(-(1/3)x^2-(2/3)x\)

                 \(\underline{-(1/3)x^2-(1/3)x}\)

                                     \(-(1/3)x-1/3\)

                                     \(\underline{-(1/3)x-1/3}\)

                                                               0

\(x_2 = -1\) 

 

3. vermutete Nullstelle:   x3 = - 1

 

\((x^3+x^2-(1/3)x-1/3):(x+1)\) \(=x^2-1/3\) 

 \(\underline{x^3+x^2}\)

            \(0\ -\ (1/3)x-1/3\)

                  \(\underline{-(1/3)x-1/3}\)

                                            0

\(x_3=-1\) 

 

Nullstellen 4 und 5

 

\(x^2-\frac{1}{3}=0\)

\(x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}\)

\(x_4=-\sqrt{\frac{1}{3}}=-0,5773502691896257\\ x_5=+\sqrt{\frac{1}{3}}=0,5773502691896257\)

                                     

Eine Nullstelle, errechnet mit

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm

\(x_5= 0,5773502691896257\)

 

Nullstellen der Funktion  \(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3=0\) 

 

\(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3\\ \color{blue}=(x+1)^3\cdot (x+\sqrt{\frac{1}{3}})\cdot (x-\sqrt{\frac{1}{3}}) =0\)

 

\(\large \mathbb{L}=\{-1;-1;-1;-\sqrt{\frac{1}{3}};\sqrt{\frac{1}{3}}\}\)

 

8.12.

Guten Morgen,

heureka hatte bereits ganze Arbeit geleistet.

Danke heureka!

laugh  !

 08.12.2017
bearbeitet von asinus  08.12.2017
bearbeitet von asinus  08.12.2017
bearbeitet von asinus  09.12.2017
bearbeitet von asinus  10.12.2017
bearbeitet von asinus  10.12.2017
bearbeitet von asinus  10.12.2017
bearbeitet von asinus  10.12.2017
bearbeitet von asinus  10.12.2017
bearbeitet von asinus  10.12.2017
 #2
avatar+26364 
+2

x^5+3x^4+8:3x^3-x-1:3 Funktion fünften Grades Nullstellen errechnen

 

Brüche entfernen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} &=& 0 \quad | \quad \cdot 3\\ \mathbf{3x^5+9x^4+8x^3-3x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)

 

Vermutete Lösung: \(x_0 =\pm1\)

\(\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 3+9+8-3-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & -3+9-8+3-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}\)

 

1. Lösung: \(x_0=-1\)

 

weitere Lösungen:

\(\begin{array}{rcll} (3x^5+9x^4+8x^3-3x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}\)

\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)(3x^4+6x^3+2x^2-2x-1) \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^4+6x^3+2x^2-2x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)

 

Vermutete Lösung: \( x_0 =\pm1\)

\(\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 1+6+2-2-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & 3-6+2+2-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}\)

 

2. Lösung: \(x_0=-1\)

 

weitere Lösungen:
\(\begin{array}{rcll} (3x^4+6x^3+2x^2-2x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}\)

\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)\cdot(x+1)(3x^3+3x^2-x-1) \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^3+3x^2-x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)

 

Vermutete Lösung: \(x_0 =\pm1\)

\(\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 3+3-1-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & -3+3+1-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}\)

 

3. Lösung: \(x_0=-1\)

 

weitere Lösungen:

\(\begin{array}{rcll} (3x^3+3x^2-x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}\)

 

\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)\cdot(x+1)\cdot(x+1)(3x^2-1) \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^2-1} &=& \mathbf{0} \\ 3x^2 &=& 1 \\ x^2 &=& \frac13 \\ x &=& \pm \sqrt{\frac13} \\ \hline \end{array} \)

 

4. Lösung: \(x_0= \sqrt{\frac13}\)
5. Lösung: \(x_0=- \sqrt{\frac13}\)

 

Die 5 Lösungen lauten:

\(x_1 = -1 \qquad x_2 = -1 \qquad x_3 = -1 \qquad x_4 = \sqrt{\frac13} \qquad x_5 = -\sqrt{\frac13} \)

 

\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = (x+1)^3(x-\sqrt{\frac13})(x+\sqrt{\frac13}) \)

 

laugh

 08.12.2017
bearbeitet von heureka  11.12.2017
bearbeitet von heureka  11.12.2017

1 Benutzer online