+20 hallo ich bräuchte hilfe bei 2 aufgaben bitte
die erste wäre:
Gegeben ist die funktion f(x)= 1/2x^2 -2,5x+2
Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem graphen von fund der x-achse über dem Intervall (0;3)
Nr.2
Gesucht ist der Flächenihnhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x)=x^3 -1 und den beiden Koordinatenachsen die im 4.Quadraten liegen
Wer extrem nett wenn mir jemand weiter helfenkönnte selbst bei nur einer aufgabe danke
LG
+14903 Guten Morgen Matheanfänger!
Für heute Aufgabe Nr.1
Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/2x^2 - 2,5x + 2
Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse über dem Intervall (0;3)
Zuerst prüfen wir, ob die Funktion im Intervall (0;3) Nullstellen,
also Schnittstellen mit der x-Achse, hat.
\(0,5x^2 - 2,5x + 2=0\)
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\\ x = {2,5 \pm \sqrt{6,25-4\cdot 0,5\cdot 2} \over 2\cdot 0,5}\\ x=\frac{2,5\pm \sqrt{2,25}}{1}\\ x_1=4\\ x_2=1\)
Im Intervall (0;3) finden wir die Nullstelle x2 = 1.
Deshalb berechnen wir die Flächen in den Bereichen (1;0) und (1;3) und addieren sie.
Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.
Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.
Jetzt ermitteln wir die Stammfunktion.
\(\color{BrickRed}f(x)=0,5x^2 - 2,5x + 2=0\\\color{blue} \left[A\right]_0^1 \\ =\int_{0}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{0}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(0)\\ =0,916\overline{6}\\\color{blue} =\frac{11}{12}\ Quadrateinheiten\)
\(\left[A\right]_3^1 \)
\(=\int_{3}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{3}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(4,5-11,25+6)\\ =(0,916\overline6)-(-0,75)\color{blue}=1,6\overline6\\ \color{blue}=1\frac{2}{3}\ Quadrateinheiten\)
\(\left[A\right]_0^1+\left[A\right]_3^1\\ \color{black} =\frac{11}{12}+\frac{5}{3}=\frac{31}{12}\\ =2\frac{7}{12}\ Quadrateinheiten\)
Die Summe der beiden Flächen zwischen dem Graphen der Funktion f(x)
und der x-Achse beträgt \(\large 2\frac{7}{11}\ Quadrateinheiten\).
Das war es für heute. Der Rest kommt morgen.
Gruß von
!
+14903 Hallo, guten Morgen!
Nun zu
Nr.2
Gesucht ist der Flächeninhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \(f(x)=x^3-1\) und den beiden Koordinatenachsen, die im 4.Quadranten liegen.
Der 4. Quadrant wird begrenzt von der negativen y-Achse und der positiven x-Achse.
\(f(x)=x^3-1\) ist eine Parabel 3.Grades.
-1 zeigt an, dass der Graph bei -1 durch die y-Achse geht.
Bei 1 geht der Graph durch die x-Achse
weil:
\(f(x)=x^3-1=0\\ x^3=1\\ x= \sqrt[3]{1}\\ \color{blue}x=1\)
Die gesuchte Fläche A ist
\(A=\int_{0}^{1} \! (x^3-1) \, dx \\ A=| \frac{x^4}{4} -x|_0^1\\ A= (\frac{1}{4}-1)-(0)\)
\(\LARGE A=-\frac{3}{4}\) \(Quadrateinheiten\)
Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.
Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.
Die Fläche zwischen den Koordinatenachsen und dem Graphen der Funktion \(f(x)=x^3-1\)
im 4. Quadranten ist \(\frac{3}{4}\) Quadrateinheiten groß.
Gruß
!
