+514 \(6x(2x-n)=2m(n-2x)\)
Ich habe mal so angefangen
\(\\12x^2-6xn=2mn-4mx \\12x^2-6xn+4mx=2mn \quad|:2 \\6x^2-3xn+2mx=mn \\x(6x-3n+2m)=mn \\?\)
Wie bringe ich es in die Grundform
+14903 Löse die Gleichung mit der quadratischen Ergänzung nach x auf
\(6x(2x-n)=2m(n-2x)\)
Hallo Mathefan!
\(6x(2x-n)=2m(n-2x)\\ 12x^2-6nx=2mn-4mx\\ 12x^2-6nx+4mx=2mn\\ 12x^2+(4m-6n)x=2mn\\ x^2+\frac{4m-6n}{12}x=\frac{mn}{6}\)
\(x^2+\frac{2m-3n}{6}x=\frac{mn}{6}\)
p ist der Faktor vor x im linearen Glied der quadratischen Gleichung.
Die quadratische Ergänzung ist \((\frac{p}{2})^2\).
Sie wird auf beiden Seiten der Gleichung addiert.
\((\frac{p}{2})^2=(\frac{2m-3n}{12})^2\)
\(x^2+\frac{2m-3n}{6}x+{\color{blue}(\frac{2m-3n}{12})^2}=\frac{mn}{6}+\color{blue}(\frac{2m-3n}{12})^2\)
Die linke Seite der Gleichung ist nun aufgebaut, wie die 1. binomische Formel
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) , darum
\(x^2+\frac{2m-3n}{6}x+(\frac{2m-3n}{12})^2=\frac{mn}{6}+(\frac{2m-3n}{12})^2\\ (x+\frac{2m-3n}{12})^2=\frac{mn}{6}+(\frac{2m-3n}{12})^2\\ x+\frac{2m-3n}{12}=\sqrt{\frac{mn}{6}+(\frac{2m-3n}{12})^2}\\ \color{blue }x=-\frac{2m-3n}{12}\pm \sqrt{\frac{mn}{6}+(\frac{2m-3n}{12})^2}\)
!
