asinus

a. What percentage of the area of  ABCD is occupied by \(\triangle\)EFA?

Hi Mathhemathh!

\(\overline{EF}=\overline{CD}\cdot\sqrt{2}-\overline{CD}\\ \overline{EF}=10\cdot\sqrt{2}-10\\ \)

\(A_\triangle=\frac{\overline{EF}}{2}\cdot (\overline{CD}\cdot \sqrt{2}-\frac{\overline{EF}}{2}) \)

\(A_\triangle=\frac{10\cdot\sqrt{2}-10}{2}\cdot (10\cdot\sqrt{2}-\frac{10\cdot\sqrt{2}-10}{2})\\ A_\triangle=(10\cdot\sqrt{2}-10)^2\)

\(A_\triangle=17.15729\)

\(A_\square : A_\triangle=100\% :x\\ x=\frac{ A_\triangle\cdot 100\%}{A_\square}\\ x=\frac{17.15729\cdot 100\%}{100}\\ \color{blue}x=17.15729\%\)

\(a:\ \triangle EFA\ has\ 17.15729\%\ of\ \square ABCD \)

  !

In the diagram, triangle ABE, triangle BCE and triangle CDE are right-angled, with Angle AEB= Angle BEC= Angle CED=60 degrees, and AE=24. Find the length of CE.

\(\overline{BE}=\overline{AE}\cdot cos\ 60\ degrees\\ \overline{BE}=24\cdot cos\ 60\ degrees=24\cdot 0.5=12\\ \overline{CE}=\overline{BE}\cdot cos\ 60\ degrees\\ \overline{CE}=12\cdot cos\ 60\ degrees=12\cdot 0.5=6\\ \)

\(\overline{CE}=6 \)

until the end

[\(\overline{DE}=\overline{CE}\cdot cos\ 60\ degrees\\ \overline{DE}=6\cdot cos\ 60\ degrees=6\cdot 0.5=3\\ \color{blue}\overline{DE}=3\)

  !

What is the radius of the circle inscribed in triangle ABC if AB=22, AC=12, and BC=14?

triangle ABC

\(a=14\\ b=12\\ c=22\\ r=?\)

\(s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{14+12+22}{2}\\ s=24\\ A_{\triangle}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ A_{\triangle}=\sqrt{24(24-14)(24-12)(24-22)}\)

\(A_{\triangle}=\sqrt{2^3*3*2*5*2^2*3*2}=\sqrt{2^7*3^2*5}\\ \color{blue}A_{\triangle}=24\cdot \sqrt{10}\)

\(A_{\triangle}=\frac{r(a+b+c)}{2}\\ r=\frac{2A_{\triangle}}{a+b+c}=\frac{48\cdot\sqrt{10}}{48}\)

\(r=\sqrt{10}\approx 3.1627766..\)

Thanks Mathhemathh

\(The\ radius\ of\ the\ circle\\ inscribed\ in\ triangle\ ABC\ is =\sqrt{10}\approx 3.1627766..\)

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In triangle A, B, C, AB=13, AC=15 and BC=14. Let I be the incenter. The incircle of triangle ABC touches sides BC, AC, and AB at D, E, and F, respectively. Find the length of BI.

Hello friends!

triangle ABC

a=14   b=15   c=13

Referring to the graph in Mathhemathh's reply on August 09, 2018.

What is the radius of the circle inscribed in triangle ABC if AB = 5, AC=6, BC=7?
Please for permission.

1. circle radius

formula of Heron

\(A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ s=\frac{1}{2}(a+b+c)\\ s=\frac{1}{2}(14+15+13)\\ s=21\\ A=\sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)}\)

\(A=84\)

\(A=\frac{ar+br+cr}{2}\\ r=\frac{2A}{a+b+c}=\frac{168}{14+15+13}=\frac{168}{42}\\ \color{blue}r=4\)

Thanks Mathhemathh!

2. angle \(\beta\)

cosine

\(b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos \beta\\ \beta=arccos\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \beta=arccos\frac{14^2+13^2-15^2}{2\cdot 14\cdot 13c}=arccos\ 0.384615\)

\(\beta=67.3801°\) 

\(\frac{\beta}{2}=33.690°\)

3. Length of the route \(\overline{BI}\)

\(sin\frac{\beta}{2}=\frac{r}{\overline{BI}}\\ \overline{BI}=\frac{r}{sin\frac{\beta}{2}}=\frac{4}{sin\ 33.690°}\)

\(\overline{BI}=7.2111\)

\( The\ length\ of\ \overline{BI}\ is\ 7,2111 \)

  !

Herons Formula, when so applied, is something completely new to me.
Thank you, Mathhhemathh!

  !

What is the radius of the circle inscribed in triangle ABC if AB = 5, AC=6, BC=7? 

Hello friends !

The radius of the circle is r .

\(a=7\\ b=6\\ c=5 \)

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\gamma\\ \gamma=arccos\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=arccos\frac{7^2+6^2-5^2}{2\cdot 7\cdot 6}=arccos 0.7142857\\ \gamma=44.4153°\)

\(b^2=a^2+c^2-2ac\ cos\beta\\ \beta=arccos\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=arccos\frac{7^2+5^2-6^2}{2\cdot 7\cdot 5}=arccos\ 0.54285714\\ \beta=57.12165°\)

\(a=s+t\)   (two sections on the side a,

                     on both sides of the contact with the circle)

\(tan\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{s}\\ s=\frac{r}{tan \frac{\gamma}{2}}\)             \(tan \frac{\beta}{2}=\frac{r}{t}\\ t= \frac{r}{tan \frac{\beta}{2}}\)

\(a=\frac{r}{tan \frac{\gamma}{2}}+\frac{r}{tan \frac{\beta}{2}}=7\)

\(\frac{r}{tan \frac{44.4153°}{2}}+\frac{r}{tan \frac{57.12165°}{2}}=7\)

\(\frac{r}{0.408248}+\frac{r}{0.544331}=7\)

\(0.544331r+0.408248r=7\cdot 0.408248\cdot 0.544331\\ r=\frac{7\ \cdot\ 0.408248\ \cdot\ 0.544331}{0.544331+0.408248}\)

\(r=1.63299\)

\(The\ radius\ of\ the\ circle\ inscribed\ in\ triangle\ ABC\ is\ 1.63299.\)

  !

Hallo heureka,

genial gemacht ist das. Danke!

Die Funktionsgleichung f(t) = h mit den Konstanten c und g heißt

\(h= c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{c}{g} \left( 2t + \dfrac{c}{g} \right) } \right) \)

Ich mache daraus eine zugeschnittene Größengleichung, indem ich c und g in die Gleichung einbringe.

\( Schallgeschwindigkeit\ bei\ 0°C\)             \(c=331,5\frac{m}{s}\)

\(Erdbeschleunigung\)                                   \(g=9,81\ \frac{m}{s^2}\)

\(h= 331,5 \cdot \left( t +33,7920489297 - \sqrt{ 33,7920489297 \cdot\left( 2t + 33,7920489297 \right) }\ \right) \)

Als Beispiel sei \(t=6,52s\) eingebracht.

\(h= 331,5 \cdot \left( 6,52 +33,7920489297 - \sqrt{ 33,7920489297 \cdot\left( 2\cdot 6,52 + 33,7920489297 \right) }\ \right) \)

\(h=175,947\ (m)\)

Hurra!     !

Hier noch eine etwas andere Lösung zum Kyffhäuserbrunnen:

\(Fallzeit\ des\ Steines\)                   \(t_1\)

\(Zeit\ des\ Schalls\ nach\ oben \)       \(t_2\)   

\(Gemessene Zeit\\ Schallgeschwindigkeit\\ Erdbeschleunigung\)              \(t= t_1+t_2=6,52s\\ c=331,5\frac{m}{s}\\g=9,81\frac{m}{s^2}\) 

\( Tiefe\ des\ Brunnens\)                  \(h=?\)

\(h=\frac{g}{2}(t_1)^2\\ t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)            \(h=ct_2\\ t_2= \frac{h}{c}\)

\(t_1+t_2=t=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{c}\)

\(\sqrt{\frac{2h}{g}}=t-\frac{h}{c} \)

\(\frac{2h}{g}=t^2-\frac{2ht}{c}+\frac{h^2}{c^2}\)

\(\frac{h^2}{c^2}-\frac{2ht}{c}-\frac{2h}{g}+t^2=0\\ \color{blue}\frac{1}{c^2}h^2-(\frac{2t}{c}+\frac{2}{g})h+t^2=0\)

A                   B              C

\(A=9,09982278095\cdot10^{-6}\\ B=-0,243209948294\\ C=42,5104\)

\(h = {-B \pm \sqrt{B^2-4AC} \over 2A}\)

\(\Large h=\frac{ \frac{2t}{c}+\frac{2}{g}-\sqrt{(\frac{2t}{c}+\frac{2}{g})^2-4\cdot \frac{1}{c^2}\cdot t^2}}{2\cdot \frac{1}{c^2}}\)

\(\large h = {0,243209948294 - \sqrt{(-0,243209948294)^2-4\cdot 9,09982278095\cdot10^{-6}\cdot 42,5104} \over 2\cdot 9,09982278095\cdot10^{-6}}\\ \)

\(\large h=175,947189966\)

Die Methode für Leute mit Zeit.

Ich wollte für ein Computerprogramm ausprobieren, ob sie funktioniert.

   !

Danke Omi67,

das ist ja ein ganz toller Brunnen und jetzt wissen wir auch, wie tief der ist.

Aber stimmt das auch, liebe Freunde? Wir rechnen das lieber aus.

Sicher ist sicher!

Grüße Euer 

  !

Bei einem Experiment mit einer radioaktiven Substanz wird beobachtet, dass 3h nach Beginn der Messung 7/8 der Substanz zerfallen sind. Wie viele Atome sind nach 4h noch vorhanden, wenn zu Beginn N0=16000 vorhanden waren?

Zerfallsgesetz: \(N_{(t)}=N_{0} \cdot e^{-kt}\)

Hallo Gast,

1. Zerfalls-Konstante k ermitteln.

\(N_{(t)}=\frac{1}{8}\cdot 16000=2000\\ N_0=16000\\ t=3h\)

\(N_{(t)}=N_{0} \cdot e^{-kt}\\ \frac{N_{(t)}}{N_0}=e^{-kt}\\ \frac{1}{8}=e^{-k\cdot 3h}\\ ln\frac{1}{8}=-k\cdot3h\\ k=-\frac{ln \frac{1}{8}}{3h}\\ \color{blue}k=0,69314718/h\)

2. Atome-Rest nach 4 Stunden radioaktiven Zerfalls berechnen.

\(N_{(t)}=N_{0} \cdot e^{-kt}\\ N_0=16000\\ k=0,69314718/h\\ t=4h\)

\(N_{(nach\ 4h)}=16000 \cdot e^{-\frac{0,69314718}{h}\cdot 4h}\\ N_{(nach\ 4h)}=16000\cdot e^{-2,77258872}\)

\(N_{(nach\ 4h)}=16000\cdot 0,0625\\ \color{blue}N_{(nach\ 4h)}=1000\)

Nach 4 Stunden radioaktiven Zerfalls sind noch 1000 Atome vorhanden.

Gruß       !