Wie bilde ich die Stammfunktion von f(x) = sqrt(x^2+4). Bitte mit ausführlichen Rechenweg.
Hallo Evan!
\(f(x)=\sqrt{x^2+4}\)
\(g(x)= \int \! \sqrt{x^2+4} \ dx \)
\(g(x)=2\ln\left(\left|\sqrt{x^2+4}+x\right|\right)+x\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1}+C\)
Rechenweg anzeigen
\( \int \! \sqrt{x^2+4} \ dx \)
Trigonometrische Substitution durchführen:
Substituiere x=2tan(u) ⟶ u=arctan(x²) , dx=2sec²(u)du
Rechenweg
\(=\int2sec^2(u)\sqrt{4tan^2(u)+4}du\)
Vereinfachen mit Hilfe von 4tan²(u)+4=4sec²(u) :
\(=4\int sec^3(u)du\)
Wir lösen nun:
\(\int sec^3(u)du\)
Reduktionsformel anwenden
\({{\displaystyle\int}\sec^{\mathtt{n}}\left(u\right)\,\mathrm{d}u=\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{\dfrac{\mathtt{n}-2}{\mathtt{n}-1}}}{\displaystyle\int}\sec^{\mathtt{n}-2}\left(u\right)\,\mathrm{d}u+\dfrac{\sec^{\mathtt{n}-2}\left(u\right)\tan\left(u\right)}{\mathtt{n}-1}} \)
mit n = 3
\(=\dfrac{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)}{2}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-3}{\dfrac{1}{2}}}{\displaystyle\int}\sec\left(u\right)\,\mathrm{d}u \)
Wir lösen nun:
\(\int sec(u)du\) (dies ist ein Standardintegral)
\(=ln(tan(u)+sec(u))\)
Gelöste Integrale einsetzen
\(\dfrac{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)}{2}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-4}{\dfrac{1}{2}}}{\displaystyle\int}\sec\left(u\right)\,\mathrm{d}u \)
\(=\dfrac{\ln\left(\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)\right)}{2}+\dfrac{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)}{2} \)
Gelöste Integrale einsetzen
\(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-5}{4}}{\displaystyle\int}\sec^3\left(u\right)\,\mathrm{d}u \)
\(=2\ln\left(\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)\right)+2\sec\left(u\right)\tan\left(u\right) \)
Rücksubstitution von \(u=arctan \frac{x}{2}\), verwende:
\(\tan\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-6}{\arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)}}\right)=\dfrac{x}{2} \)
\(\sec\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-7}{\arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)}}\right)=\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1} \)
\(=2\ln\left(\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1}+\dfrac{x}{2}\right)+x\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1} \)
Die Aufgabe ist gelöst. Wende die Betragsfunktion auf die Argumente von Logarithmusfunktionen an, um den Gültigkeitsbereich der Stammfunktion zu erweitern:
\({\displaystyle\int}\sqrt{x^2+4}\,\mathrm{d}x \)
\(=2\ln\left(\left|\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1}+\dfrac{x}{2}\right|\right)+x\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1}+C \)
Umschreiben/vereinfachen
\(=2\ln\left(\left|\sqrt{x^2+4}+x\right|\right)+x\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1}+C \)
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