CPhill

ab^2   =27/5    (1)

a^2b =   135    (2)      divide (2) by (1)

a/b  =  135 / (27/5)

a/b  =  25

a = 25b        sub    this into   (2)  for  a

(25b)^2 * b =  135

625 b^3  =  135

b^3   =   135/625  = 27/125   take the  cube root of both sides

b=   3/5

And  a =  25(3/5)  =  15

So

a + 5b   =

15  +  5(3/5)  =

15 + 3    =  

18

(10x - 3y)  / ( 13x - 2y)   =  3/5       cross-multiply

5(10x - 3y)  = 3(13x - 2y)   simplify

50x - 15y  =  39x - 6y     rearrange as

50x - 39x =  15y  - 6y

11x  =  9y

x / y  =  9 / 11

a + b + c  =  112         where  a,b are the legs and c is the hypotenuse

a + b     = 112  - c       square both sides

a^2 + 2ab + b^2  =   c^2 - 224c + 12544

Note that  a^2 + b^2  = c^2        so the above becomes

2ab  =  12544  - 224c        (1)

The area  of the  triangle is   (1/2) ac

Also   the area   is  (1/2)13.44 * c 

So

(1/2)ab  =  (1/2) 13.44c     

ab  =  13.44c

2ab  = 26.88c       (2)

Sub (2)  into (1)

26.88c =  12544 - 224c    add 224c  to both sides

26.88 c + 224c =   12544

250.88 c   = 12544      divide both sides by  250.88

c =  50  = the hypotenuse  length

y = (1/3)x  +  7                            y =  2x  -  5

To  find the x intercepts, let  y =  0   and solve  both equations  for  x

0  =   (1/3)x -  7                                                0  =  2x   - 5

add 7 to both sides                                          add 5 to both sides

7 = (1/3)x                                                         5  = 2x                 

multiply both sides  by 3                                divide both sides  by 2

21  =  x                                                           5/2  =  x

So  21  +  5/2  =    =

21 +  2.5  =

23.5 

Let D  = (0,0)     Let   B = (2,8)

We can find the  coordinates of  F thusly  :

Construct a circle with a radius of 2 centered at   D

The equation of this circle  is   x^2 + y^2  =  4       (1)

Construct a  circle with a radius of 8  centered at  B

The eqation of this circle is  ( x - 2)^2 + (y - 8)^2  = 64  ⇒   x^2 - 4x + 4  + y^2  - 16y + 64 =  64 ⇒

x^2 - 4x +y^2  - 16y  = -4      (2)

Subtract (2)  from (1)

4x + 16y  =  8

x + 4y  = 2

x  = 2  - 4y         sub this into ( 1)  for x

(2 - 4y)^2  + y^2  =   4

16y^2 - 16y +  4  + y^2  =  4

17y^2 - 16y  =  0

y ( 17y - 16)   =  0

Solving for the  second  gives the y coordinate  of F    y  =  16/17

And    x = 2 - 4(16.17)  =  [34 - 64]/ 17  =   -30/17

F = (-30/17 , 16/17)

And the slope of BF  = [  8 - 16/17 ]  / [ 2 - -30/17 ] =   (120/17)  / (64/17)  =  120/64  =  15/8

So the equation of a line through  BF is

y = (15/8)(x - 2) + 8

y = (15/8)x  - 30/8 + 8

y = (15/8)x - 15/4 + 8

y = (15/8)x + 17/4

So   when x  = 0     this line  intersects the left side of the rectangle at  17/4 =  4.25

So  we  have a right triangle with a leg of  (8 - 4.25)  and 2  =   3.75  and  2

And the area of  two of these  triangles is      3.75 * 2  =   7.5       (3)   

So...the gray  area =  area  of rectangle  - (3)  =   8*2  -  7.5  =  16 - 7.5 =  8.5

Some numbers missing from this problem......

We    have  the form

y = ax^2  + bx  +  c

Since   f(4)  = 0   then  4 is a root

And   f(1)  =  -24

And f(7)  = 60

So    we  have  this system of  equations

a(4)^2  + b(4)  + c   = 0

a(1)^2  + b(1) + c  = -24

a(7)^2 + b(7) + c  =   60         simplify

16a  + 4b +  c  =   0             (1)

a    +   b    +  c  =  -24          (2)

49a  + 7b + c  =  60             (3)

Subtract  (2) from (1)

15a + 3b  =  24  (divide through  by 3) ⇒   5a + b  = 8       ⇒  b = 8 - 5a    (4)

Subtract  (1)  from ( 3)

33a + 3b  =  60  (divide through by 3) ⇒ 11a + b  = 20         (5)

Sub (4) into (5)

11a  + (8 - 5a)  =  20

6a  =  12

a = 2

b = 8 - 5(2)  =  -2

a + b + c  = -24

2  - 2  + c =  -24

c = -24

So  our polynomial  is

f(x)   = 2x^2  - 2x  -  24

f(-1)  = 2(-1)^2 - 2(-1)  - 24   =   -20

Here's a grqph  : https://www.desmos.com/calculator/xzq6el9uj2

sin^2x  +  3cos x  -  2   =  0

( 1 - cos^2x)  + 3cosx  -  2  =  0

-cos^2x + 3cos x - 1 =  0

cos^2 x - 3cosx + 1   =  0                 let cos x =  a

a^2  - 3a   =   -1          completete the square  on a

a^2  - 3a    +    9/4  =  -1  + 9/4

(a - 3/2)^2  =  5/4      take both roots

a - 3/2   =  sqrt (5)/2              a  - 3/2  =  -sqrt (5)/2

a   =  sqrt (5)/2 + 3/2                         a  =  3/2  - sqrt (5)/2

cos x  = sqrt (5)/2 + 3/2                  cos x =  (3 - sqrt 5)  / 2

Not possible

cos^3x  + sec^3x   =

(cos x  + sec x)  ( cos^2 x  - cosxsecx  + sec^2x) =

(cos x + secx) ( cos^2 x  + sec^2x  - 1)

[ (3 - sqrt 5)/2  +   2/ (3 -sqrt 5) ]    [  ( ( 3 -sqrt 5)/2 )^2   +  (2/(3 -sqrt 2))^2   - 1 ]   =  18

Let E  be  the intersection  of  BC with the  circle

By  the secant tangent theorem,   

BE (  BE + EC)  = AB^2

BE  ( 8) =  6^2

BE (8)  =  36

BE  = 36/8   =  18/4  =  4.5

So   chord CE  = 8  - 4.5  =  3.5

If  we call the midpoint of this chord, F  and we  draw   OF....then triangle    ODF is right with OD the hypotenuse

And  DF  =  10 + CF =  10  + CE/2  =  10 + 3.5/2   =   11.75

And by  the  Pythagorean Theorem,   OF^2  = OD^2  -  DF^2  = 5.9375

And we can  draw another  right triangle  OFC  with  the radius  of the  circle, r, as a hypotenuse, legs CF  and  OF

So

r^2  =  CF^2 + OF^2

r^2  =  (1.75)^2  + 5.9375

r^2   =  9

r =  3

The center of the ellipse is (0,0)  =  O 

1/2 of the  chord length  will be the  x value associated  with one of the other vertexes  on the positive side of the  y axis      ......the other vertex will  have an x coordinate of - sqrt(7)

So.....to  find the  y value   we have

(sqrt 7)^2  / 16 +  y^2/9  = 1

7/16  +  y^2/9  =  1

y^2/9 = 1 - 7/16

y^2/9  =  9/16       multiply  both sides by 9

y^2 =  81/16      take the positive root

y=  9/4  =    the  height of the triangle

The  area of the triangle =    (1/2) chord length  * height  =    sqrt (7) *(9/4)  =   2.25 sqrt (7)  units^2