CPhill

1 - 1/2 - 1/3   =  1/6  of  the  buttons  are  red

Let  N  be  the total buttons  in the box....so.....

a)  (1/2)N  - (1/6)N  =  20

           (4/12)N  =  20

           (1/3)N  = 20              multiply  both sides  by 3

               N =  60

            (1/6)N  =  10  buttons  are red

b)  60  buttons

csc  ( n * 180) =    1  / sin (n * 180)    but   sin 180  = 0    so  sin (n*180)   = 0

So

1  / 0    =   undefined

ab +  c   =   13

bc +  a  =    13

ac +  b   =   41    

The  first two equations imply that

ab + c  =  bc  + a

ab - bc  =  a  - c

b ( a - c)  = a  - c       divide both sides  by  a - c

b  = 1

Looking at  the last equation

ac + 1  =  41

ac  =  40

Let  a  =  8     and  c  =  5

These values  make  the first two equations  true

So

a + b + c  =    8  + 1 +  5    =   14

a + b + c  =  1       cube  both  sides

a^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 a b^2 + 6 a b c + 3 a c^2 + b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 + c^3  =  1

(a^3  + b^3  + c^3)   + 3a(ab) +  3a ( ac)   + 3b (ab)  + 3c (ac)  +  3b(bc) + 3c(bc) + 6abc  =  1

(a^3  + b^3 + c^3)  + 3a ( ab + ac)  + 3b( ab + bc)  + 3c(ac  + bc)  + 6abc  =  1

(a^3  + b^3 + c^3)  +  3a  ( -4 - bc)  +  3b  ( -4 - ac) + 3c ( -4 - ab)  + 6abc  =  1

(a^3  + b^3  + c^3)  - 12a  - 3abc  - 12b - 3abc  - 12c - 3abc  + 6abc  = 1

(a^3  + b^3  + c^3)  - 12 ( a + b + c)  - 9abc + 6abc   =  1

(a^3 + b^3  + c^3)  - 12 ( 1) -  3abc   =  1

(a^3 + b^3 + c^3)  - 12  - 3(-4)  = 1

(a^3 + b^3 + c^3)    = 1

a = ( 2 + i)^2  / ( 3 + i)

a  =  ( 4 + 4i  + i^2)  / ( 3 + i)

a  =  { 3 + 4i)  / ( 3 + i)

a    =  [ ( 3 + 4i) ( 3 -  i)]  / ( 9 - i^2)

a  =   ( 9  + 9i  - 4i^2) / 10

a = (13 + 9i)  / 10

So

1  +  1/a   =

1  +  10 /  ( 13 + 9i)   =

[ 13  + 9i  + 10  ] / ( 13 + 9i)   =

( 23  + 9i)  / ( 13  + 9i)  = 

( 23 + 9i) ( 13 - 9i)  / ( 169 - 81 i^2 )   =

(299 -90i  - 81i^2)  / 250  =

( 380 - 90i)  / 250  =

(38 - 9i) /  25

Probability  that  Al   gets a point  =  ( 2 + 2)  / 10  =   4/10

Ptobability  that  Byron gets a point =  ( 4 + 1 + + 1)  / 10  =  6/10

For the game  to be fair, each  would have to have  the  same probabilty of getting a point....so....it is not fair

4 quarts in one gallon

So   

Each room uses  1 gallon  =  4 qts

So   4 rooms *  4 qts    =    16 qts

-1  and  7

(a + b)^2  =  a^2  + 2ab + b^2

So

a^2 + 2ab  + b^2   -  ( a^2 + b^2)  +  (ab)   =

2ab +  ab  =

3ab  =

3 ^ 4 * 7   =

84

No problem  !!!!