CPhill

9 9 1    =  3            8   9   2  =   6           7   9   3     =   6                          

9 8 2   =   6            8   8   3   =  3           7   8   4     =   6             

9 7 3  =    6            8   7   4   =  6           7   7   5    =    3

9 6 4  =    6            8   6   5   =  6           7   6   6    =    3                             

9 5 5  =    3                              __                               __

               ___                                                   

               24                            21                                18  =           63 

Don't know a heck of a lot about this  but

To multiply two complex numbers, you multiply their magnitudes and add their angles......

So we should have

 3 * sqrt (6)  * 2sqrt (5)     cis  [  ( pi/8  + (7pi / 6)  ]   =

6 sqrt (30) cis ( [ 3pi  + 28pi ] / 24 )  =

6sqt (30)  cis  ( 31 pi / 24 )

Rearrange as

2x^2 + 8x  +  c  =  0

This will have two real roots  when the discriminant  >  0    .......so

8^2   -  4 (2) c  >  0

64   > 8c

64 / 8  >  c

So

c  <  8

So......   seven positive integer values of c  will  work 

The product of  these =  7!  =  5040

****

We have two  inequalities

x^4  + 4x^2  >   -4                            also          x^4  + 4x^2  <  6x^2 + 21  

x^4 + 4x^2  + 4 >  0                                          x^4 - 2x^2 - 21   <  0            complete the square on x

(x^2 + 2)^2   > 0                                                x^4  - 2x^2  + 1  - 21  - 1  <  0

x^2  + 2  is >  0  for all x                                   (x^2 - 1)^2 - 22 <  0

                                                                         (x^2 - 1)^2  <  22

                                                                          x^2 - 1  <  ±sqrt (22)

So

x^2 - 1  <  sqrt (22)                 and          x^2  - 1  <   -sqrt (22)

x^2  <   sqrt (22)  + 1                              x^2  <    1  -sqrt 22

x <  sqrt  [ sqrt (22) + 1 ]                            x  <  sqrt [ 1 -sqrt (22 ]     not a real number

x  >  - sqrt  [ sqrt (22) + 1]                          x >  - sqrt [ 1 -sqrt (22) ]  not a real number

The most  restrictive interval is

  x   =  (  -sqrt [  sqrt(22) + 1 ]   , sqrt [ sqrt (22) + 1 ]  )

This triangle is  isoceles  so  AN  and  CM  are medians

ANB forms aright triangle  with  NB  = 9

AN = sqrt  [ 13^2  - 9^2 ]   = sqrt  [ 88]  =  2sqrt (22)

By the property of medians 

AX = (2/3) AN =   (2/3) * 2sqrt (22) =   (4/3)sqrt (22)

a)  1200   / 1900  =    12  /  19

b)  No. of children   =   (2/3) (1800)   = 1200

Number of boys  = 2x

Number of girls  = x

So

2x + x  =   1200

3x =  1200

x =  1200   / 3   =     400 girls

Draw altitude AE

Then  DE  =  (3  -1)  / 2  = 1

And we have right triangle  ADE with legs of sqrt 2 , 1  and  the trapezoid height as the other leg

So

h =  sqrt [( sqrt 2)^2  - 1 ]  =  1

And   we also have right triangle   AEC  where  EC =   2

So

x =  sqrt [ 2^2 + 1^2 ]   =   sqrt  5