asinus

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 #2
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Die Funktion f ist mit f(x)= 1/3x^3 -x^2 -3x +4 gegeben.

a) Berechne Die Extremstellen von f und gib die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f an.

b) Begründe mit Hilfe von \(f'''(x), \) gemeint ist aber \(f''(x), \) warum es sich um den Hoch- bzw. den Tiefpunkt handelt.

 

a)

Ein Extrempunkt ist entweder der höchste oder der tiefste Punkt auf einem Intervall des Funktionsgraphen. Handelt es sich um den höchsten Punkt, spricht man von einem Maximum oder Hochpunkt. Geht es um den tiefsten Punkt, handelt es sich um ein Minimum oder einen Tiefpunkt.

Die x-Werte der Nullstellen der 1. Ableitung \(f'(x)\) 

sind die x-Werte der Extrema der Funktion \(f(x)\).

\(f(x)= \frac{1}{3}x^3 -x^2 -3x +4\)

\(f'(x)=x^2-2x-3 =0\\ x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\ x=1\pm\sqrt{1^2+3}\\ x=1\pm 2\\ \color{blue}x_1=-1\\ \color{blue}x_2=3\)

 

\(f(x_1)= \frac{1}{3}x_1^3 -x_1^2 -3x_1 +4\\ f(x_1)= -\frac{1}{3}-1+3+4\\ \color{blue}f(x_1)=5\frac{2}{3}=5,6\overline 6\ Hochpunkt\)

 

\(f(x_2)=\frac{1}{3}x_2^3 -x_2^2 -3x_2 +4\\ f(x_2)=9-9-9+4\\ \color{blue}f(x_2)=-5\ Tiefpunkt\)

 

b)

Die 2. Ableitung gibt die Änderung der Steigung an. Sie gibt also Auskunft über die Krümmung des Graphen. Ist f''(x) > 0, wird die Steigung größer. Die Kurve ist daher linksgekrümmt (positiv gekrümmt, konvex).

 

\(f'(x)=x^2-2x-3 =0\\ \color{blue}f''(x)=2x-2\\ f''(x_1)=2x_1-2=2\cdot(-1)-2\\ \color{blue}f''(x_1)=-4\\ die\ Steigung\ von\ f\ ist\ hier\ \color{blue}0\ und\ fallend: Hochpunkt\\ f''(x_2)=2x_2-2=2\cdot 3-2\\ \color{blue}f''(x_2)=4\\ die\ Steigung\ von\ f\ ist\ \color{blue}hier\ 0\ und\ steigend:\ Tiefpunkt\)

 

Ist f''(x) = 0 und f'''(x) \( \neq\) 0 hat die Funktion f an dieser Stelle einen Wendepunkt.

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5 may 2019
 #1
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Mal lesen:

 

10. Mai 2010, 22:20 Uhr Süddeutsche Zeitung

 

Mathe ist sexy!

Jetzt wird abgerechnet: Und zwar mit allen, die damit prahlen, schlecht in Mathe zu sein. Es ist doch hierzulande viel zu einfach, die Rechen-Null zu markieren.

 

Plädoyer für eine verfemte Wissenschaft:

 

Von Rainer Stadler

Hans Magnus Enzensberger hat einmal beklagt, große Teile der deutschen Bevölkerung seien "über den Stand der griechischen Mathematik nie hinausgekommen", also den Stand der Mathematik vor einigen tausend Jahren. Das war nicht übertrieben. Es gibt Umfragen, wonach ein Drittel der Deutschen nicht weiß, was

"40 Prozent" bedeutet.

Der Ausschluss der Mathematik "aus der Sphäre der Kultur kommt einer Art von intellektueller Kastration gleich."

Die einen glauben, es handle sich dabei um ein Viertel, die anderen verstehen darunter "jeder 40ste". Ein Hamburger Medizinprofessor hat wiederholt festgestellt, dass seine Studenten und nicht wenige praktizierende Ärzte schon das Rechnen mit dem Dreisatz überfordert. Angehende Lehrer und Wirtschaftler sind mit ihrem Latein schnell am Ende, wenn man ihnen die Matheaufgaben der Pisa-Studie für Neuntklässler vorlegt. Eine Schande für unser Land, den Wissensstandort? Ach was.

Wer schlecht in Mathe ist, kann bei uns immer noch Bundeskanzler werden oder zumindest Talkmaster beim ZDF. Gerhard Schröder, der als Regierungschef sehr viel über Innovationen redete, wird der Spruch zugeschrieben:

"In Mathe war ich unterdurchschnittlich."

Der unselige Johannes Baptist Kerner setzte noch einen drauf: Mathe und Physik seien nicht seine Welt, er halte es eher mit Heinrich Heine, "weil mir spontan Deutschland, ein Wintermärchen einfällt und das großartige Lyrik ist". Zwei Profi-Opportunisten wie Schröder und Kerner wissen nur zu gut, dass man in der Öffentlichkeit mühelos Punkte sammelt, wenn man sich als Null in Mathe outet. Schließlich hat jeder von uns in der Schule gelernt: 1. Der Mathestreber hat fettige Haare und kommt beim Weitsprung kaum über 1,20 Meter. 2. Cool und kreativ sein und gut in Mathe geht einfach nicht. 3. Es gibt ja Taschenrechner. Vor diesem Hintergrund kokettieren Schröder und Kerner - aber auch Menschen, die es nicht nötig hätten - damit, dass sie mit dem Fach auf Kriegsfuß stehen.

Dieses pubertäre Verhalten ignoriert allerdings, dass es sich bei der Mathematik - ebenso wie der Musik, Literatur oder Kunst - um ein Kulturgut handelt, um das uns nicht nur die Affen beneiden würden, wenn sie nur könnten. Es ignoriert, dass der Ausschluss der Mathematik "aus der Sphäre der Kultur einer Art von intellektueller Kastration gleichkommt", wie Enzensberger einwarf. Dass Mathematik zutiefst in der Natur verankert ist und geometrische Grundbegriffe selbst von der Zivilisation weit gehend unbelasteten Amazonas-Völkern im brasilianischen Urwald vertraut sind. Und dass niemand auf die Idee käme, sich zu brüsten, dass er Analphabet ist.

Im Grunde handelt es sich um nichts anderes als eine Form von Analphabetismus, wenn ein großer Teil der Gesellschaft von den Errungenschaften einer Wissenschaft profitiert, wie keine Generation vor uns übrigens, ohne auch nur zu ahnen, was sich dahinter verbirgt. Ohne Mathematik läuft kein Auto, dampft kein Kraftwerk, piepst kein Handy. Das Herzstück der Internet-Suchmaschine Google, die ihre Besitzer zu Milliardären machte, ist ein Algorithmus, der die Wichtigkeit von Internet-Seiten bewertet, indem er eine Gleichung mit 500 Millionen Variablen berechnet. Mathematik spielt heute eine zentrale Rolle in der Physik, Chemie, Medizin, Biologie, in Wirtschaft, Architektur und Ingenieurwissenschaften. Ein Problem hat die Disziplin allerdings, und das heißt Benutzerfreundlichkeit: Jeder Mensch soll ja das Auto, den Fernseher oder die Kreditkarte nutzen können, ohne die Mathematik in diesen Gegenständen verstehen zu müssen. Weil die Mathematik im Alltag oft unsichtbar bleibt, glauben viele gänzlich ohne sie auszukommen.

Rainer Stadler, Süddeutsche Zeitung

laugh  !

2 may 2019