Probolobo

Zur a): Die eine Richtung ist wohl klar. Sei nun also \(x^2 \leq y^2.\) Ist x=0, so ist die Ungleichung offenbar erfüllt. Wir können daher für die folgende Rechnung x>0 annehmen.

Dann folgt:

\(x^2 \leq y^2 \\ x^2 - y^2 \leq 0 \\ (x+y)(x-y) \leq 0 \ \ |:(x+y) \\ x-y \leq 0 \\ x \leq y\)

Für b) möchte ich zunächst festhalten, dass \(x \geq y\) sein muss, da sonst die Wurzel aus x-y in den reellen Zahlen nicht definiert ist.

Wir nutzen jetzt a) und quadrieren zunächst beide Seiten. Dann erhalten wir folgendes:

\(| \sqrt{x}-\sqrt{y}|^2 \leq \sqrt{x-y}^2 \\ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 \leq x-y \\ x -2\sqrt{xy}+y \leq x-y \\ y-2\sqrt{xy} \leq -y \\ 2 ( y-\sqrt{xy}) \leq 0 \\ y \leq \sqrt{xy}\)

Die letzte Ungleichung stimmt, denn wir können x schreiben als x=y+d mit irgendeiner positiven Zahl d (oder d=0), da x größer oder gleich y ist. dadurch ist xy = y²+dy und somit die Wurzel daraus größer als y (oder natürlich gleich, wenn x=y und d=0 ist.).

Bei der c) bin ich nicht sicher was genau gemeint ist. Für mich sieht das aus als wäre zu zeigen, dass gilt

\(\frac{w}{x} \leq \frac{w+x}{x+y}\leq\frac{z}{y}\)

Diese Ungleichungskette stimmt aber nicht für alle w, x, y, z - offenbar ists falsch für x=y=w=2 & z=1.

Was ist denn da die richtige Angabe? Gibts noch Zusatz-Infos zu z&w?

Das hier ist kein Beweis DER vollständigen Induktion, sondern mit Hilfe von vollständiger Induktion - so nennt man die Beweistechnik, die hier genutzt wird. Die Ungleichung hier heißt "Bernoulli-Ungleichung" und ist ziemlich bekannt. 

Einen ausführlichen Beweis und ergänzende Erklärungen dazu findest du hier:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Bernoulli-Ungleichung

Ich könnts wohl selbst nicht wirklich besser machen, daher würd' ich mich hier mit dem Link als Antwort begnügen. Sag' aber gern Bescheid wenn du mehr Infos dazu brauchst oder irgendein Beweis-Schritt unklar ist.

Vielleicht kann ich hier weiterhelfen:
Die Zahl von asinus hat tatsächlich deutlich mehr als 10 Teiler - sie hat ja nicht nur die ersten 10 Primzahlen als Teiler, sondern auch sämtliche Produkte der ersten 10 Primzahlen, das liefert 2¹⁰  =1024 Teiler.

Eine Zahl mit der gewünschten Eigenschaft ist beispielsweise 3⁴  *29 = 2349. Sie hat die Teiler 1, 3, 9, 27, 81 (die Dreier-Potenzen) und 29, 87, 261, 783, 2349 (Die Dreier-Potenzen multipliziert mit 29.

Für einen Stromkreislauf mit konstanter Spannung U, konstantem Widerstand R und konstanter Stromstärke I gilt \(U = R \cdot I\) und damit \(I = \frac{U}{R}\).

Falls die größen sich mit der Zeit verändern können oder der Stromkreis komplexer wird (zB. mit Reihenschaltung/Parallelschaltung von einzelnen Elementen) wird's komplizierter.

Ahja da kommt's halt immer darauf an, in welchem Kontext man sich bewegt. Typischerweise wird deine Gleichung als Gleichung in \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\) betrachtet. Dort stimmt sie offenbar, letztendlich bewiesen durch die Konstruktion der natürlichen Zahlen durch ein Eins-Element und eine Nachfolger-Funktion. Dann ist nämlich 2 der "Nachfolger" von 1 und kann daher geschrieben werden als 1+1. (In den "größeren" Zahlenmengen ist's dann aufgrund der Existenz der kanonischen Einbettung klar.)

Über endlichen Körpern stimmt die Gleichung auch, solange deren Charakteristik nicht gleich 2 ist. Im Körper \(\mathbb{F}_2 = \{ 0, 1 \}\) ist dann 1+1=0, sodass auch dieser Körper die Körperaxiome erfüllt.

Natürlich kann man deine Gleichung nicht nur als "Zahlen-Gleichung" auffassen, sondern auch als Aussage über beispielsweise Abbildungen zwischen irgendwelchen Mengen interpretieren. Dann müssen entweder die Mengen passende Verknüpfungen ihrer Elemente bereitstellen oder die Addition von solchen Abbildungen irgendwie sinnvoll definiert sein. Dabei kann die Gleichung durchaus kaputt gehen.

Ohne mehr Kontext ist es daher erstmal nicht möglich, dir einen konkreten Beweis zu liefern. Davon ausgehend, dass du hier die klassische Gleichung mit "normalen" Zahlen meinst, ist der oberste Absatz als Antwort hoffentlich ausreichend.

0,8m² = 100 * 0,8 dm² = 80dm²

Bei Flächen ist die Umrechnungszahl 100. 

Da gibt's nicht wirklich eine eindeutige Antwort - das kommt darauf an, welche Art Gleichungssysteme du lösen möchtest. Wenn du die Frage etwas konkreter stellen kannst, oder eventuell eine passende Beispielaufgabe angeben kannst, können wir vermutlich auch besser helfen.

Für die linearen Gleichungssysteme aus der Schule (mit zwei oder drei Variablen) finde ich das Einsetzungsverfahren am besten, weil es immer funktioniert und nicht wie das Additions- oder Gleichsetzungs-Verfahren eine spezielle Form des Gleichungssystems zu benötigt. Das Additions-Verfahren und das Gleichsetzungs-Verfahren sind deswegen nicht sinnlos oder Ähnliches, ganz im Gegenteil: wenn auffällt, dass das Gleichungssystem die passende Form hat, sind sie eventuell schneller als das Einsetzungsverfahren.

Diese Gleichungssysteme lassen sich auch gut mit dem Gauß-Verfahren lösen. Dieses Verfahren ist dann auch nützlich, wenn man etwas größere Gleichungssysteme lösen möchte.

(Wenn du Schüler bist, kannst du hier aufhören zu lesen ;) )

Für sehr große lineare Gleichungssysteme bietet es sich an, das Gleichungssystem in Matrixform zu bringen und vom PC lösen zu lassen. Dafür ist es sinnvoll, ein Vorgehen zu nutzen, das weniger Rechenzeit braucht als das Gauß-Verfahren bzw. die Berechnung der Inversen - beispielsweise QR-Zerlegung der Matrix. Auch Algorithmen, die die Lösung nur näherungsweise bestimmen, können da nützlich sein.

Letzten Endes kommt es natürlich vor, dass nicht-lineare Gleichungssysteme auftreten. Gerade in diesem Themenbereich sind Näherungs-Verfahren gängig, weil konkrete Berechnungen der Lösung entweder unmöglich oder extrem aufwändig sein können.

So wie du das schreibst ist das kein sinnvoller Ausdruck - es sollten nie zwei Rechenzeichen aufeinander folgen. 

Falls du nach einer Regel á la "Minus mal Minus ist Plus" für mehrere Vorzeichen suchst: Da gibt's natürlich was. Man könnte deine Vorgabe etwa auf folgende Art zu einem ergiebigeren Ausdruck umformen:

\(--+-++++-+--++-+- = \\ (-1)(-1)(+1)(-1)(+1)(+1)(+1)(+1)(-1)(+1)(-1)(-1)(+1)(+1)(-1)(+1)(-1) = \\ (-1)^8(+1)^9 = (+1)(+1) = +1\)

Dabei fasse ich jeweils die -1-Faktoren und die +1-Faktoren zusammen. Durch "Minus mal Minus = Plus" folgt, dass (-1) mit geradem Exponenten wieder +1 ergibt, mit ungeradem Exponenten dann -1. So kann man schnell das Vorzeichen eines Produktes aus mehreren Faktoren bestimmen.

Alles, vor dem ein Minus steht, wird abgezogen. Man kann bei einer solchen Rechnung auch umsortieren, wie man will, solange man die Vorzeichen dabei mitnimmt - vielleicht hilft dir das:

+25-94+22-12 =

+25 +22 -94 -12 = 

47 -94 -12 = 

-47 -12 = 

-59

Klar!

Eigentlich erstmal wie ausmultiplizieren, richtig.

Bei der ersten nutze ich im letzten Schritt, dass "a oder nicht-a" sowieso immer wahr ist. Daher sind beide Klammern genau dann wahr, wenn die rechte wahr ist.

Die Lösung zur zweiten Aufgabe gehe ich mal Schritt für Schritt durch:

\((a \lor b) \land (a \lor \neg b) = \ \ | linke \ Klammer \ aufgeloest \\ (a \land (a \lor \neg b)) \lor (b \land (a \lor \neg b)) \ \ | innere \ Klammern \ aufl.\\ (( a \land a ) \lor (a \land \neg b)) \lor ((b \land a) \lor (b \land \neg b)) \ \ | a \land a = a, b \land \neg b = 0\\ (a \lor (a \land \neg b)) \lor (b \land a) = \ \ |a \land \neg b \Rightarrow a \\ a \lor (b \land a) = \ \ | b \land a \Rightarrow a\\ a\)

Bei den letzten beiden Schritten nutze ich, dass die eine der Aussagen, die mit "Oder" verknüpft ist, "in der anderen enthalten ist" - sind keine Mengen, aber so kann man sichs ganz gut vorstellen. Sprich, wenn a und nicht-b wahr sind, dann ist ja automatisch a wahr - also kann ich mir gleich nur a anschauen. Das gleiche im letzten Schritt: Wenn a wahr ist oder b&a wahr sind, dann ist halt a wahr. 

Dass das so klappt, kann man sich auch gut wie folgt klar machen: Wenn ich dir sage, dass Aussage 1 stimmt, oder Aussage1 und Aussage2 gleichzeitig stimmen, dann ist das einzige, was du schlussfolgern kannst, dass Aussage 1 stimmt - über Aussage 2 ist trotzdem gar nichts bekannt.

Ich hoffe, das macht's etwas klarer. Frag gern nochmal nach wenn was noch nicht nachvollziehbar ist!