geno3141

A formula to find the x-value of the vertex of a quadratic function is:  x = -b/(2a)

In  f(x)  =  2x² + 36x + 170     --->     a = 2,  b = 36,  and  c = 170

x  =  -b/(2a)   --->   x  =  -36/(2·2)  =  -36/4  =  -9

f(-9)  =  2(-9)² + 36(-9) + 170  =  8

Since the value of a > 0, this is a rising parabola, so the point (-9, 8) is a minimum.

The minimum f-value is 8.

Let m represent the number of minutes.

Amount of water in Karla's tank:  100 + 5m

Amount of water in Jake's tank:  50 + 10m

Same amount of water:  100 + 5m  =  50 + 10 m

--->                                         100  =  50 + 5m

--->                                            50  =  5m

--->                                            10 = m

In ten minutes, Karla's tank will have 100 + 5(10)  =  100 + 50  =  150 gallons.

In ten minutes, Jake's tank will have 50 + 10(10)  =  50 + 100  =  150 gallons.

Let  log_1/4(32^-18)  =  y 

Then, writing this in exponential form:  (1/4)^y  =  32^-18

(1/4)  =  2^-2   --->   (1/4)^y  =  (2^-2)^y  =  2^-2y                                    

32^-18 =  (2⁵)^-18   --->   2^-90

So:   (1/4)^y  =  32^-18    --->    2^-2y  = 2^-90   --->   -2y  =  -90   --->   y  =  45 

1)  When x - 4 ≤ 0, then |x - 4| = -(x - 4) = -x + 4       (when x ≤ 4)

2)  When x - 4 ≥ 0, then |x - 4| = x - 4                          (when x ≥ 4)

3)  When x + 4 ≤ 0,  then |x + 4| = -(x + 4) = -x - 4    (when x ≤ -4)

4)  When x + 4 ≥ 0, then |x + 4| = x + 4                      (when x ≥ -4)

When x ≤ -4, use both lines 1 and 3 above:  |x - 4| + |x + 4| ≤ 10

                                                            --->    -x + 4 + -x - 4 ≤ 10

                                                            --->                      -2x ≤ 10 

                                                            --->                         x ≥ -5                 --->      -5 ≤ x ≤ -4

When x ≥ -4 and x ≤ 4, use both lines 1 and 4 above:  |x - 4| + |x + 4| ≤ 10

                                                                     --->            -x + 4 + x + 4  ≤ 10

                                                                     --->                                  8 ≤ 10   

                                                          Since 8 ≤ 10 for all values in this range   --->   -4 ≤ x ≤ 4

When x ≥ 4, use both lines 2 and 4 above:  |x - 4| + |x + 4| ≤ 10

                                                        --->           x - 4 + x + 4 ≤ 10

                                                        --->                           2x ≤ 10       

                                                         --->                             x ≤ 5                 --->   4 ≤ x ≤ 5

Combining these three answer:  -5 ≤ x ≤ 5

                                                            3x + 7  =  -11 + 2x

Subtract 2x from both sides:                  x + 7  =  -11

Subtract 7 from both sides:                           x  =  -18

FA  =  IA · (1/2)^t/h

where  FA  =  Final Amount  =  10                  IA  =  Initial Amount  =  13.5

              t  =  time (years)                                h  =  half-life (years)  =  5730

--->    10  =  13.5 · (1/2)^t/5730

--->     0.74074  =  (1/2)^t/5730                                (divide both sides by 13.5)

--->     log(0.74074)  =  log( (1/2)^t/5730 )               (since the variable is in the exponent, find the log)

--->     log(0.74074)  =  (t/5730)·log(1/2)              (an exponent in a log comes out as a multiplier)

--->     5730·log(0.74074)  =  t·log(1/2)                 (multiply both sides by 5730)

--->    5730·log(0.74074)/log(1/2)  =  t                  (divide both sides by log(1/2)

--->     t  =        <calculator time!>

(9x³ - 6x² + 3x - 5) / (3x)  =  9x³/(3x) - 6x²/(3x) + 3x/(3x) - 5/(3x)

      =    3x² - 2x + 1 -5/(3x)

Since  y  =  log₂(2x)  --->   2^y  =  2x.

Since  y  =  log₄(x)   --->   4^y  =  x        

           Since  4 = 2²,  (2²)^y  =  x     --->   2^2y  =  x    

           Since  2^2y  =  x   --->  2·2^2y  =  2·x   --->  2^2y+1  =  2x  =  2^y  (from the first equation.

Because  2^2y+1  =  2^y   --->   2y + 1  =  y     --->    y + 1  =  0     --->     y = -1

Becaue   y = -1  and  4^y  =  x   --->  x  =  4^-1   --->   x  =  1/4 

Slope equation:  m  =  (y2 - y1) / (x2 - x1)

(x1, y1) = (76, 91)        (x2, y2) = (61, 84)

--->   m  =  (84 -91) / (61 - 76)  =  -7 / -15  =  7/15

Taking the parts individually:  

√(x + 1) is well-defined when  x + 1 ≥ 0   --->   x ≥ -1                                    (x + 1 must be zero or positive)

√(1 - x) is well-defined when  1 - x ≥ 0   --->   -x ≥ -1   --->   x ≤ 1                (1 - x must be zero or positive)

√(x) is well-defined when x > 0                    (x can't be 0 because it is in the denominator)

Since  x > 0  and  x ≥ -1  --->   x > 0

x > 0  and  x ≤ 1    --->     (0, 1]