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asinus

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 #3
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17-mar-2019
 #1
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Hallo,

ich habe etliche Fragen über :

Arithmetischen Mittelwert; Median; Standardabweichung

Können diese Sachen auf einem normalen Taschenrechner ausgerechnet werde; wenn ja, wie würde dieses gehen?

 

Hallo Meister!

Du kommst also nun auf das Gebiet "Statistische Prozessregelung". Gratuliere!

 

Arithmetisches Mittel

Das Arithmetische Mittel, auch arithmetischer Mittelwert genannt (umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet) ist ein Begriff in der Statistik. Es ist ein Lageparameter. Man berechnet diesen Mittelwert wie folgt: Summe der betrachteten Zahlen geteilt durch ihre Anzahl (das geht mit normalem Taschenrechner).

Die mathematische Formel für den Mittelwert  \(\overline x\) (x-quer) lautet:

 

                                                                          \(\color{blue}\overline x=\frac{1}{n}\cdot \sum\nolimits_{i=1}^n x_i\)

Beispiel: {1  4  4  15  2  4  5}   Anzahl n = 7     \(\overline x=\frac{1}{7}\cdot (1+4+4+15+2+4+5)=\frac{35}{7}\)

                                                                         \(\overline x=5\)

 

Median

Alle Werte werden (aufsteigend) geordnet. Wenn die Anzahl der Werte ungerade ist, ist die mittlere Zahl der Median. Wenn die Anzahl der Werte gerade ist, wird der Median meist als arithmetisches Mittel der beiden mittleren Zahlen definiert, die dann Unter- und Obermedian heißen.

Der Median ist die Mitte, bzw. der Zentralwert des Datensatzes.

Die mathematische Formel für den Median  \(\overline x\) (x-quer) lautet:

 

                                \(\overline x=x_{\frac{n+1}{2}}\)                          n   ungerade

                               \(\overline x=\frac{1}{2}\cdot (x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})\)     n   gerade

 

Beispiel: sieben unsortierte Messwerte 4, 1, 15, 2, 4, 5, 4 werden nach

Größe sortiert: 1, 2, 4, 4, 4, 5, 15; Der Median (auch der Ober- und der Untermedian) ist der Wert an der mittleren Stelle, also 4.

                                 \(\large \overline x=x_{\frac{n+1}{2}}\) =     \(\large\overline x=x_{\frac{7+1}{2}}=\color{blue}x_4=4\)    

Median \(\overline x=4\)    

Mittelwert und Median haben beide das Formelzeichen \(\overline x\) .

 

Als Voraussetzung zur Standardabweichung betrachten wir die

 

Varianz s²

Die Varianz berechnet sich als die Summe der quadrierten Abweichungen aller Einzelwerte einer Verteilung vom arithmetischen Mittel eben dieser Verteilung geteilt durch die Gesamtzahl der Werte.

Die mathematische Formel für die Varianz s² lautet

                               

                                                    \(s^2=\frac{1}{n}\cdot \sum^n_{i=1}(x_i-\overline x)^2\)

Beispiel:

4, 1, 15, 2, 4, 5, 4

\(n=7\)       \(\overline x=5\)                         \(s^2=\frac{1}{7}\cdot [(4-5)^2+ (1-5)^2+ (15-5)^2+ (2-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2 + (4-5)^2 ]\)

\(s^2=\frac{1}{7}\cdot (1+16+100+9+1+0+1)\\ s^2=\frac{1}{7}\cdot 128\)

\(\color{blue}s^2=18,286..\)

Die Varianz ist \(s^2=18,286\)

 

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streubreite der Werte eines Merkmals rund um dessen Mittelwert (arithmetisches Mittel). Vereinfacht gesagt, ist die Standardabweichung die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Ausprägungen eines Merkmals vom Durchschnitt. Sie ist die Quadratwurzel aus der Varianz.

Die mathematische Formel der Standardabweichung lautet

 

   \(s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\cdot \sum^n_{i=1}(x_i-\overline x)^2}\)


Beispiel:

\(Verteilung\ \color{blue}4,\ 1,\ 15,\ 2,\ 4,\ 5,\ 4\)

\(Anzahl\ Werte\ \color{blue}n=7\)

\(Mittelwert\ \color{blue}\overline x=5\)

\(Varianz\ \color{blue}s^2=18,286..\)

\(Standardabweichung\ \color{blue}s=\sqrt{s^2}=\sqrt{18,286..}\)

 

Die Standardabweichung ist \(s=4,276..\)

 

Gruß und viel Erfolg!

laugh  !

13-mar-2019